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Instituição
Instituto Federal de Pernambuco — Campus Paulista
Curso
Tecnologia em Análise e Desenvolvimento de Sistemas
Disciplina
Matemática Aplicada
Docente
Profa. Camila Mendonça Morais

Lista de Exercícios

A Derivada na Computação

10 questões de derivadas aplicadas à computação, na mesma ordem de assuntos da apresentação. Todas usam apenas derivada básica: regra da potência, derivada de polinômio, diferença finita e derivada igual a zero no ponto de mínimo. As contas são de uma ou duas etapas e podem ser feitas de cabeça ou com uma calculadora simples. Cada questão tem a resolução comentada escondida; tente responder antes de abrir. O gabarito oficial está no fim.

O PDF sai com capa, uma questão por folha (com espaço para cálculos), o gabarito e, se marcado, as resoluções. No diálogo de impressão, desmarque "Cabeçalhos e rodapés".

As três regras usadas nesta lista

Exemplo da regra (1): se f(x) = x³, então f'(x) = 3x². Somas derivam termo a termo, e uma constante multiplicando sobrevive: a derivada de 5x² é 10x.

fácil questões 1–8 médio questões 9–10

Equipe responsável

  • Amanda Cavalcante
  • Anna Júlia Dantas
  • Edson Gonçalves
  • Gabriel Inácio
  • Gabriel Nunes
  • Lucas Aguiar
  • Miguel Ângelo
  • Pedro Tavares
  • Sarah Bethelim
  • Wenisson José
1 fácil Diferença finita — monitoramento de servidor

Um script de monitoramento registra o espaço ocupado no disco de um servidor duas vezes por dia:

08:00 → 380 GB  ·  12:00 → 392 GB

Usando a diferença finita, a taxa de crescimento do uso do disco é de:

  1. 1 GB/h
  2. 3 GB/h
  3. 4 GB/h
  4. 12 GB/h
  5. 48 GB/h
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Alternativa B

São 12 GB em 4 horas, ou seja, 3 GB a cada hora. O erro comum é parar em 12 (alternativa D), que é a variação total, não a taxa.

Repare que essa é exatamente a fórmula da derivada, com h = 4 h em vez de um instante. Com essa taxa e 120 GB livres, dá para prever que o disco lota em 40 horas — uma informação que o valor "380 GB" sozinho não daria.

3 GB/h. É a derivada do uso em relação ao tempo, calculada por diferença finita.
2 fácil Diferença finita — motor de jogo

Um motor de jogo calcula a velocidade de um personagem comparando a posição entre dois quadros consecutivos. No quadro anterior o personagem estava em x = 100 px; no quadro atual, está em x = 130 px. O intervalo entre os quadros é Δt = 0,1 s.

A velocidade calculada pelo motor é de:

  1. 3 px/s
  2. 30 px/s
  3. 130 px/s
  4. 300 px/s
  5. 1.300 px/s
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Alternativa D

O erro mais comum é parar em 30 e esquecer de dividir pelo intervalo de tempo: 30 px é o deslocamento, não a velocidade. Dividir por 0,1 s equivale a multiplicar por 10 — mantido esse ritmo por um segundo inteiro, o personagem andaria 300 px.

v = 300 px/s, a mesma fórmula da questão anterior aplicada ao espaço em vez do disco.
3 fácil Regra da potência — custo de algoritmo

Um algoritmo de ordenação executa T(n) = n² comparações para uma entrada de tamanho n. Aplicando a regra da potência, a taxa de crescimento do custo é T'(n) = 2n — ou seja, quantas comparações a mais custa aumentar a entrada em um elemento.

Para uma entrada de n = 50, o valor de T'(50) é:

  1. 50
  2. 100
  3. 250
  4. 2.500
  5. 5.000
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Alternativa B

A alternativa D (2.500) é o valor de T(50) = 50², o custo total, e não a taxa de crescimento. Confundir a função com a sua derivada é o deslize mais comum.

A leitura prática: com 50 elementos, cada elemento novo custa cerca de 100 comparações a mais. Com 500 elementos, T'(500) = 1.000 — o mesmo elemento extra passa a custar dez vezes mais. É exatamente por isso que um algoritmo O(n²) "funciona bem em teste e trava em produção": não é o custo total que surpreende, é o custo marginal, que cresce junto com a entrada.

T'(50) = 100 comparações por elemento adicional.
4 fácil IA — gradiente descendente

No treinamento de um modelo, o erro em função de um peso w é dado por L(w) = w², cuja derivada é L'(w) = 2w. O peso atual é w = 6 e a taxa de aprendizado é α = 0,25. A regra de atualização do gradiente descendente é:

Após um passo, o novo valor do peso será:

  1. 1,5
  2. 3,0
  3. 4,5
  4. 5,5
  5. 9,0
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Alternativa B

Primeiro calcula-se a derivada no ponto atual (12), depois dá-se um passo de tamanho α nessa direção. Como a derivada é positiva, aumentar o peso aumentaria o erro — por isso a fórmula subtrai, andando no sentido contrário ao da derivada. Daí o nome "gradiente descendente".

O mínimo de L(w) = w² está em w = 0. O peso saiu de 6 para 3, ou seja, andou na direção certa. Repetindo o passo: L'(3) = 6, e w passa a 1,5 — cada passo fica menor porque a própria derivada diminui perto do mínimo, sem nenhuma lógica extra.

w = 3. É esse laço, repetido milhões de vezes, que constitui o treinamento de um modelo.
5 fácil Derivada zero — custo de infraestrutura

O custo mensal de operação de um sistema, em função do número x de servidores contratados, é modelado por:

O número de servidores que minimiza o custo é aquele em que a derivada do custo se anula (no ponto mais baixo da curva, a reta tangente é horizontal). Esse número é:

  1. 4 servidores
  2. 6 servidores
  3. 10 servidores
  4. 12 servidores
  5. 80 servidores
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Alternativa B

Derivando termo a termo (regra da potência, e a derivada da constante 80 é zero) e igualando a zero:

Conferindo pelo custo: C(6) = 36 − 72 + 80 = 44. Nos vizinhos, C(5) = 25 − 60 + 80 = 45 e C(7) = 49 − 84 + 80 = 45 — os dois são maiores, confirmando que x = 6 é mesmo o mínimo.

A alternativa D (12) é o coeficiente que aparece no enunciado, não a solução da equação; a E (80) é a constante. Este é o mesmo princípio por trás do lote econômico (EOQ) do slide 20: achar o mínimo de uma curva de custo é resolver derivada = 0.

6 servidores, com custo mínimo de 44.
6 fácil Visão computacional — detecção de bordas

Um detector de bordas trata a imagem como uma função: cada pixel guarda uma intensidade de 0 (preto) a 255 (branco), e uma borda é um ponto onde essa função varia bruscamente — ou seja, onde a derivada é alta. Analise quatro sequências de pixels vizinhos, lidas da esquerda para a direita:

  1. 120 · 121 · 120 · 122 · 121
  2. 40 · 41 · 42 · 43 · 44
  3. 50 · 50 · 51 · 205 · 206
  4. 200 · 200 · 200 · 200 · 200
  5. 10 · 12 · 11 · 13 · 12

A sequência que o detector apontaria como borda é a da alternativa:

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Alternativa C

Basta calcular a maior diferença entre dois pixels vizinhos — a derivada discreta da imagem, com h = 1 pixel:

alternativamaior variação entre vizinhosinterpretação
A2área uniforme (ruído)
B1degradê suave, constante
C154 (de 51 para 205)borda
D0totalmente uniforme
E2área uniforme (ruído)

Repare que a alternativa B tem derivada não nula (+1 constante), mas pequena: é um degradê suave, como uma sombra, e não uma borda. É por isso que detectores usam um limiar — sem ele, qualquer variação de iluminação viraria contorno falso. Na demonstração do slide 10 é exatamente esse limiar que o controle deslizante ajusta.

Detectar bordas é detectar derivadas altas.
7 fácil Rastreio de código — derivada numérica em Python

Considere o seguinte programa em Python, que calcula a derivada por diferença finita:

def f(x):
    return x ** 2

def derivada(f, x, h=0.001):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

print(round(derivada(f, 5)))

Qual valor será exibido no console?

  1. 2
  2. 5
  3. 10
  4. 25
  5. 50
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Alternativa C

A função derivada aplica a diferença finita com h = 0,001 sobre f(x) = x², no ponto x = 5:

O round() arredonda 10,001 para 10. Conferindo pela regra da potência: f'(x) = 2x, logo f'(5) = 10. As duas batem, e a sobra de 0,001 é justamente o erro de aproximação da diferença finita — quanto menor o h, menor esse erro.

A alternativa D (25) é o valor de f(5), não da derivada.

Saída: 10. Seis linhas de Python bastam para derivar numericamente qualquer função.
8 fácil Engenharia — controlador PID

O firmware de uma impressora 3D usa um controlador PID para manter a temperatura do bico. O termo derivativo mede a velocidade com que o erro muda, por diferença finita. Na leitura anterior o erro era de 50 °C; na leitura atual, caiu para 30 °C. O intervalo entre leituras é Δt = 1 s e o ganho derivativo é Kd = 2.

O valor do termo derivativo é:

  1. −40
  2. −20
  3. +20
  4. +40
  5. +160
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Alternativa A

O sinal negativo é a parte importante: como o erro está diminuindo (de 50 para 30), a diferença dá negativo, e o termo D entra subtraindo potência da saída do controlador. Ou seja, mesmo com o bico ainda 30 °C abaixo do alvo, o controlador já começa a frear — porque percebeu que está chegando rápido e sabe que o calor acumulado na resistência ainda vai subir a temperatura.

É a mesma lógica do motorista que tira o pé do acelerador antes do semáforo. Sem esse termo, o controlador só olharia o erro atual (ainda grande) e manteria potência máxima, ultrapassando o alvo.

termoD = −40. Na simulação do slide 16, esse termo reduz a ultrapassagem de 36,7 °C para 11,7 °C.
9 médio Métodos numéricos — Newton-Raphson

A função sqrt() não existe como instrução do processador: ela é calculada pelo método de Newton-Raphson, que usa a derivada para se aproximar da raiz a cada iteração.

Para calcular √9, usa-se f(x) = x² − 9, cuja derivada é f'(x) = 2x. Partindo de um chute inicial x₀ = 5, o valor de x₁ após uma iteração é:

  1. 2,8
  2. 3,0
  3. 3,4
  4. 4,0
  5. 4,4
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Alternativa C

Calcula-se f(5) e f'(5) e substitui-se na fórmula:

Em uma única iteração o chute saiu de 5 para 3,4 — já bem perto do valor correto (3). Uma segunda iteração daria x₂ = 3,4 − (11,56 − 9)/6,8 ≈ 3,0235, e a terceira já acerta 3,0000 com quatro casas: é a convergência quadrática que torna o método o padrão da computação numérica.

A interpretação geométrica: traça-se a reta tangente à curva no ponto x = 5 (inclinação 10, dada pela derivada) e usa-se o ponto onde ela cruza o eixo horizontal como novo chute. Resolver a reta é fácil; resolver a curva, não.

x₁ = 3,4. Cada iteração troca a curva pela sua tangente — a melhor aproximação linear local.
10 médio ADS — gestão térmica preditiva

O firmware de um processador não observa só a temperatura atual, mas também a velocidade com que ela sobe (a derivada da temperatura em relação ao tempo), para reduzir a frequência antes de atingir o limite crítico. O tempo restante até o limite é estimado por:

Dois núcleos estão neste instante exatamente na mesma temperatura, 75 °C, e o limite crítico é 95 °C. O núcleo A aquece a 2 °C/s; o núcleo B, a 10 °C/s. Assinale a alternativa correta:

  1. A tem 10 s e B tem 2 s até o limite; como estão na mesma temperatura, o firmware deve tratar os dois igualmente.
  2. A tem 10 s e B tem 2 s até o limite; o firmware deve reduzir a frequência de B com urgência, mesmo com a temperatura igual à de A.
  3. A tem 2 s e B tem 10 s até o limite; o núcleo A é o mais crítico.
  4. Os dois têm 20 s até o limite, porque o tempo depende apenas da diferença de temperatura.
  5. Não é possível estimar o tempo restante sem conhecer a temperatura ambiente.
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Alternativa B

Os dois núcleos estão no mesmo estado (75 °C), mas em situações completamente diferentes: um tem dez segundos de folga, o outro tem dois. Um controlador que olhasse apenas o valor absoluto trataria os dois de forma idêntica — e o núcleo B bateria nos 95 °C antes de qualquer reação, forçando desligamento de emergência.

Por que as outras erram: A faz a conta certa mas tira a conclusão oposta; C inverte os resultados (quanto maior a taxa, menor o tempo restante); D ignora a derivada, que está no denominador; E descarta uma estimativa que os dois dados já permitem fazer.

É a derivada que transforma uma proteção reativa em preditiva — o mesmo princípio do termo D do PID (questão 8), aplicado a outro problema.

Gabarito oficial

01. B02. D03. B 04. B05. B
06. C07. C08. A 09. C10. B

Lista elaborada a partir dos mesmos modelos e números usados na apresentação "A Derivada na Computação" (IFPE) e no material de apoio. Todas as resoluções foram conferidas por cálculo direto.

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